柱PMM雙向彎矩作用下塑鉸之研究

摘要

有鑑於耐震詳細評估，採用側推分析進行結構分析時，部分結構柱可能同時承受軸力及兩方向(強軸及弱軸)彎矩之作用，若其中一項彎矩很大，另外一向彎矩很小，此時若忽略小彎矩之影響，而僅以P、M塑鉸模擬，其側推結果AP值可能影響不大；但若強弱軸兩向彎矩差異不大時，雖然同時於程式輸入P、M2及P、M3塑鉸(國震中心TEASPA)，但其塑鉸值與同時考量兩方向之彎矩P、M2、M3塑鉸值差異甚大，恐影響側推結果AP值。本文希望藉由國家地震中心第三版TEASPA所推導之P、M2及P、M3塑鉸，與實際軸力P、兩方向彎矩M2、M3同時作用下之P、M2、M3塑鉸之關連性，找出合理之模擬方式，以提供技師執行側推分析之參考。

一、前言

國家地震中心所推廣之側推分析(PUSH OVER)軟體NCREE，歷經第一版(NCREE-08-023)、第二版(NCREE-09-023)、及第三版(NCREE-13-023)後，更名為(TEASPA)使用至今，理論基礎更臻完善。對於平面為矩形之建築物，柱斷面強弱軸方向，通常與建築平面之X軸、Y軸平行或垂直，因此在X向承受地震力作用時，柱斷面主要承受與地震力平行方向之彎矩(假設為M3)，相對的與地震力垂直方向之彎矩(假設為M2)非常小，因此在ETABS分析模型內，柱斷面僅輸入P、M2之塑鉸，而取代正確之P、M2、M3塑鉸，其分析結果可能影響不大。

若對於平面不規則之建築物而言，常會有柱主軸非平行於側推方向者，在側推過程中，柱將同時承受M2、M3之彎矩。若僅分別依TEASPA之定義，分別計算軸力與單一方向所產生之塑鉸，而於ETABS模型中，輸入P、M2(或P、M3)或同時輸入P、M2及P、M3，其塑鉸值與實際同時承受P、M2、M3之塑鉸值，差異甚大，可能影響最後側推分析之結果；故本文希望能找出合理及容易使用之方法，提供參考。

二、柱設計理論基礎

假設某柱已知其斷面及配筋下，該柱斷面同時承受軸力(P)及兩主軸方向之彎矩(M2、M3)作用，其PMM破壞包絡面為一空間曲面，當外力作用下慢慢增大(DL+LL+EQ)，該柱斷面同時承受軸力(P)、及強弱軸兩方向彎矩(M2、M3)，亦會隨之變動，當PMM座標值超出曲面外時，表示已經超過斷面所能承受之強度，此時則表示斷面已經破壞。

假設該柱斷面其中某一軸向彎矩(M3)很小而可以忽略，則PMM曲面可簡化為PM曲線。假設M3=0，可得一P、M2交互影響曲線，目前國家地震工程研究中心之第三版TEASPA之塑鉸定義，即僅考量單一方向PM塑鉸而已。

三、柱軸力對於P、M塑鉸之影響

ETABS分析模型在側推分析過程中，其軸力並非定值，故柱斷面塑鉸值必須隨時因軸力之改變而修正，但考慮執行上相關技術問題，實際執行側推分析時， 國震中心TEASPA亦僅以靜載重加上二分之一活載重(DL+1/2LL)，作用下所產生之各柱斷面之軸力，輸入共同文字檔內，作為計算塑鉸時之軸力。故本文後續所要計算之P、M2、M3塑鉸，亦假設軸力為定值(DL+1/2LL作用下之軸力)，並找出實際P、M2、M3塑鉸與P、M2塑鉸及P、M3塑鉸之關連性，如此，便可直接使用TEASPA計算P、M2塑鉸及P、M3塑鉸之結果，透過係數修正後，可得到正確之P、M2、M3塑鉸值。

四、柱P、M2及P、M3塑鉸與P、M2、M3塑鉸之關連性

當結構物承受垂直載重作用時(假設為DL+1/2LL)，柱斷面將承受軸力及強弱軸兩向之彎矩，將此柱軸力值標示於圖3座標系上，並建立一平面通過該點，則該平面將與空間曲面相交一條曲線，如圖1所示：

圖1 柱PMM破壞曲面與平面相交之曲線

圖2為某柱斷面在該軸力P1之作用下，M2、M3之交互影響曲線，由該圖可清楚看出，當強弱軸兩方向彎矩平面座標值，位於交互影響圖內時，顯示斷面強度足夠承受外加之載重，但當強弱軸兩方向彎矩平面座標值位於交互影響圖外時，表示斷面強度不足，該柱斷面將產生塑鉸。

圖2 柱軸力定值時，M2、M3交互影響曲線

因此，當水平地震力慢慢增加時，若能得知M2、M3合力方向(或比例關係)，即可知道在發生塑鉸時M2與M3之數值為何，此數值即為P、M2、M3塑鉸值，此時之M2、M3與M2、M3交互影響曲線最大值M2_MAX、M3_MAX可求得比例關係，此比例即為後續之修正係數。

M2_R = M2 / M2_MAX (1.1)

M3_R = M3 / M3_MAX (1.2)

五、採用ETABS內建功能，求柱P、M2及P、M3塑鉸與P、M2、M3塑鉸之修正係數

1.利用ETABS程式功能，建立已知之P、M2、M3曲面

首先利用ETABS程式內建定義斷面Section Design功能，將柱斷面尺寸及配筋(尺寸45x65公分、主筋12-#7)真實建置於ETABS中，並求得其P、M2、M3破壞包絡線。

2.建立M2、M3曲線

由前面所建立之P、M2、M3空間曲面，若此時假設軸力P為定值，即可利用內差，得在P軸力作用下M2、M3之交互曲線；至於軸力大小為何，可利用側推分析模型在DL+1/2LL作用下(LOAD CASE 通常定義為PUSH1)所得之柱軸力，TEASPA亦使用此定義方式之軸力建立柱斷面彎矩塑鉸。假定P = 45.25 t時，可求得0°、15°、30°、45°、60°、75°、90° 七種角度所對應之M2、M3值，角度代表M2、M3 合力方向，結果如表1所示：

表1 P=45.25t時，M2、M3交互影響曲線

3.確定M2、M3之合力方向

利用5.2所求得在某軸力作用下M2、M3之交互曲線，只要確定M2、M3合力方向，延伸一直線，與M2、M3交互曲線之交點，該點座標值即為斷面產生塑鉸時之M2、M3彎矩值。至於M2、M3之合力方向，必須在尚未設定塑鉸前先行側推分析X向(Y向比照辦理)，以確定該斷面承受X向地震力作用下，M2、M3合力角度為何，可依照STEP2、STEP3前兩步之合力方向，即可推測至產生塑鉸時之合力方向，通常合力方向變化不大。

圖3 P=45.25t時，STEP2、STEP3合力方向（數列1:M1、M2之交互曲線）

4.求修正係數

將延伸直線與M2、M3交互曲線之交點，畫水平線與垂直線交於兩座標軸上，求得產生塑鉸時斷面之M2、M3彎矩值。修正係數計算如下：

M2=18 t

M3=45 t

M2_R = M2 / M2_MAX = 0.52

M3_R = M3 / M3_MAX = 0.86

(其中M2_MAX為只有M2時的塑性彎矩，M3 / M3_MAX為只有M3時的塑性彎矩)

5.修正TEASPA之塑鉸彎矩值

利用 TEASPA 所求得之P、M2及P、M3之塑鉸定義值，將破壞彎矩乘以修正係數後重新輸入，即完成該斷面塑鉸值之修正。

M2_NEW = M2_OLD * 0.52 = 18 t ( M2_R )

M3_NEW = M3_OLD * 0.86 = 45 t ( M3_R )

6.ETABS 模型修改

依據5.1至5.5之流程，可將這類型之柱斷面一一求得修正係數，重新修正ETABS塑鉸值，全部修正後即可進行後續側推分析。同理，Y向地震力進行側推時，因M2、M3合力方向不同，故修正係數不一定相同，故仍必須依5.1至5.6之流程求得修正係數，並重新修正ETABS塑鉸值，方可進行後續側推分析。

7.柱軸力對於修正係數之影響

依據5.1至5.6之流程，必須將這類型之柱斷面一一求得修正係數，若數量龐大，必須耗費大量人力進行修正。根據筆者研究，若柱斷面尺寸及配筋相同，僅軸力略為不同，並不需要每支柱斷面求修正係數，因軸力只有在P、M反曲點附近影響較大，在其他區域對修正係數影響不大，因此使用者可依據軸力大小是否遠離P、M反曲點處來判斷軸力之影響。

六、以懸臂柱驗證修正係數

採用ETABS程式建立一懸臂柱，斷面尺寸及配筋與5.1節相同，斷面尺寸45X65，主筋12-#7，M2、M3合力方向與X軸夾角為21°、與Y軸夾角則為69°，並且分成三個狀況進行分析比對，茲說明如後。

1.CASEI：採用ETABS內部功能，計算斷面P、M2、M3塑鉸

依據ETABS內部功能，可直接建立斷面P(45.25t)、M2、M3塑鉸曲面(程式無法輸出M2及M3)，側推結果Vmax = 9300.46 kgf，並分別求出其單柱之強弱軸彎矩M2=18 t-m，M3=45 t-m。

2.CASEII：採用ETABS內部功能，分別輸入斷面P、M2及P、M3塑鉸

依據ETABS內部功能，上述之斷面尺寸及配筋所求得之塑鉸彎矩為強軸M2=34 t-m，M3=52.6 t-m，側推結果Vmax =10805.63 kgf。

比較CASE I與CASE II之結果，可發現CASE I所求得之V較小，因為CASE II為強弱軸分別定義之塑鉸，即假設M3=0，定義P、M2塑鉸，另假設M2=0，定義P、M3塑鉸，至於CASE I則考慮強弱軸彎矩與軸力同時作用下之P、M2、M3塑鉸，故CASE I分析結果較為合理，CASE II分析結果偏不保守。

3.CASEIII：採用CASE II，將P、M2及P、M3塑鉸乘以修正係數

根據第五章所建立之修正係數，將CASE I 模型內之P、M2及P、M3塑鉸分別乘以修正係數，數值如下：

M2_NEW = M2_OLD * M2_R = 18 t

M3_NEW = M3_OLD * M3_R = 45 t

修正後之破壞彎矩重新輸入表內，再進行側推分析，側推結果Vmax = 9264 kgf ，與CASE I側推結果幾乎相同。

藉由6.1至6.3節之驗證結果顯示，分析模型分別建立之P、M2及P、M3塑鉸，可乘以修正係數後，來直接反應P、M2、M3塑鉸之實際行為，故評估技師仍可利用TEASPA分別計算強軸及弱軸塑鉸，再透過修正係數調整塑鉸值，以反映較合理之塑鉸行為。

七、結論

採用國家地震中心TEASPA進行側推分析，對於柱斷面強弱軸方向與側推方向不同向時，此時該斷面可能同時承受P、M2、M3內力之作用，而此時TEASPA僅能分別產生P、M2及P、M3塑鉸可供使用，若M2、M3內力差異不大，則僅分別輸入P、M2及P、M3塑鉸，對側推結果AP值影響甚大。如此，可藉由修正係數，分別修正TEASPA所求得之強弱軸塑鉸值，再進行側推分析，方可求得較正確之AP值。

八、參考文獻

1.蕭輔沛，鐘立來，葉勇凱，簡文郁，沈文成，邱聰智，周德光，趙宜峰，翁樸文，楊耀昇，褚有倫，涂耀賢，柴駿甫，黃世建（2013）。「校舍結構耐震評估與補強技術手冊第三版」。國家地震工程研究中心研究報告，NCREE-13-023，臺北。

2.卓京澄（2013）。「三維曲線橋梁在曲率不同時之耐震評估分析」。逢甲大學土木工程學系碩士論文，臺中。

3.「建築物耐震設計規範及解說」（2011）。內政部營建署。

4.「建築物實施耐震能力評估及補強方案修正案」（2008）。內政部營建署。

【本文稿經由台灣省土木技師公會技師報同意轉載；未經允許請勿任意轉載】