矩形能量應用於材料非線性

台灣多地震，造成損害亦大，如台灣1999的921大地震，其他如日本2011的331大地震，美國1994的北嶺大地震等亦是，因此各國研究結構物如房屋橋樑等耐震能力，均不遺餘力，而描述結構耐震能力最基本的是容量曲線(Capacity Curve)。其概念以一個長度L、斷面積A之拉桿，如圖1為例，左端固定不能位移、右端受F力可滑動Δ位移，再以橫軸為Δ、豎軸為F等變數，畫出如圖2之連線，即為拉桿容量曲線。

圖1 水平拉桿

圖2 水平拉桿之容量曲線

在施力過程中，發現拉桿先於中間點降伏(yielding)、頸縮(necking)、拉斷，其餘尚保彈性不破壞，因此在結構模擬分析上，將原有彈性拉桿中間，加入一個零長度的實點，如圖1中之黑點，而此黑點專用來描述破壞過程，即變位與拉力的關係，通稱這個零長度的點為塑鉸(Plastic Hinge，以下簡稱PH)，而原來彈性拉桿稱為彈性體(Elastic Body，以下簡稱EB)，兩者為串聯(series)，共同描述EB+PH之行為，即兩者彈力(彈性內力)與塑力(塑性內力)相等，彈變(彈性變位)與塑變(塑性變位)相加，即為總變位。

再舉房屋建築，如圖3為例，在各大地震中，建物受側力F產生側向位移Δ，常看到柱底或柱頂，或者樑左、右兩端等先破壞，柱與樑中間仍保持原有彈性不壞，因為這些點，就是柱或樑受地震力作用下，會產生的最大內力(彎矩)處，因此我們於原有EB中，於最大內力處加入黑點作為PH，如下圖3，EB+PH兩者亦為串聯共同描述各個構件，進而反映整體結構行為。

圖3 房屋建築

生活上最常見的PH，就是筆記型電腦，如圖4，主機與螢幕等兩者間之轉軸即為PH，PH於任何側力F與自重W下，均提供一抗彎矩m以抵抗F與W，使螢幕可穩定於任何角度。這也是PH為何要畫實心之故，因其有提供一阻抗內力(如軸力、剪力、彎矩與扭距等)，有別於結構常看到內鉸空心者，可轉動但不提供阻抗內力。

圖4 筆記電腦NB之PH

前述拉桿所得到曲線，歪歪扭扭的，是不利實際分析，所以美國FEMA或ATC40，將其以多段直線簡化曲線，分別以下圖5中A、B、C、D與E等五點表示，A為原點、B表降伏點、C表極限點、D表衰減點與E或E1表破壞點。

圖5 容量曲線直線簡化

前述拉桿中間加黑點，或柱樑端部加黑點，這些都是各個構件EB+PH，接下來要怎麼得到整體結構之容量曲線呢？目前國內外最常用的是靜力非線性側推分析(Static Nonlinear Pushover Analysis，以下簡稱側推或Pushover)，如圖3建築，一直加載外力F，並記錄基底的最大剪力與頂層最大位移，即是整體結構之容量曲線。

而側推得到容量曲線與水平軸位移所包圍的面積，即為結構容量，代表結構消散地震輸入的能力，所以越飽滿，代表越好或越韌性(ductility)，如圖6之實線；反之，越快破壞，過了某點強度就迅速下降，代表越差或越脆性(brittle)，如圖6之虛線。再者，曲線上任一點，均能對應一地表加速度，可參考國家地震中心NCREE(Ref.-01)所開發的程式，因此容量曲線可以看出很多結構好壞的基本參數，顯見重要性。

圖6 韌性(實線)與脆性(虛線)

筆者發想一矩形能量(Rectangular Energy，Ref.-02)，亦可得到側推容量曲線，例如水平拉桿如前圖1，力平衡如式1-1，式中左、右項，各乘右端最大變位Δ，得式1-2，所以外變位Δ即為對內力f之影響(貢獻)，可視為內變位δ即等於Δ，如式1-3，式1-2可改為式1-4。

圖7 懸臂立柱

在力平衡下，外力系統將所有外力P乘以其對應位移Δ之和，等於內力系統將所有內力f乘以其對應位移δ之和，(Δ,P)與(δ,f)各分別為外內系統之水平軸與垂直軸，兩軸呈90度，乘積看起來就像矩形，物理意義就是能量，因此，本文定義所有外力P乘以其對應位移Δ之和，為外力系統矩形能量(Rectangular Energy，以下簡稱大寫R.E)，如上式1-4與2-4等號之左項。同理，內力f乘以其對應變位δ之和為內力系統矩形能量(rectangular energy，以下簡稱小寫r.e)，如上式1-4與2-4等號之右項。

由部分積分(Integral by part)可得矩形能量即為應變能(strain energy)加上其補應變能(complementary strain energy)，如式3-1至4顯示應變能為矩形能量減去補應變能，或由下圖8可看出，應變能為容量曲線下方點線，補應變能為容量曲線上方斜線，兩者加起來為矩形能量(如式3-4)，其他負、零與水平等勁度亦同。

圖8 矩形能量

以圖1為案例，A-1.0說明，一拉桿長L為3.6m(公尺)，其斷面積A為11.64cm2(平方公分)、彈性模數E值為2.0E+6 kgf/cm2(公斤力/平方公分)，拉桿之PH分別如下表A1-1所示。分別利用本文矩形能量法(以下簡稱LCM)，或CSI(Ref.-03)旗下之ETABS程式(以下簡稱CSI)等兩方法，求取拉桿容量曲線(拉桿右端位移與拉桿拉力)。

表A1-1 水平拉桿之PH

1.LCM方法：

其右端受參考載重(reference load)，此力為設計師自行假設任一值，本例參考荷重受拉為1.00ton，由彈性理論計算其彈性變位得0.015cm，如式A1-1，勁度k依式A1-2得66.67ton/cm，再由PH中之B點塑力，推得其變位0.436cm，如式A1-3。

表A1-2 EB+PH合併

因為本例為單一PH，因此表A1-2即可代表水平拉桿容量曲線表，即圖A1-2中之綠色方形實線。

2.CSI方法：

CSI結構模型如圖A1-1，參考載重指定於右端為1.00ton，同前EB與PH等基本資料輸入程式後，將PH資料指定於桿中央。先跑彈性分析再跑側推分析，水平拉桿容量曲線，如圖A1-2中之紅色圓點實線。

圖A1-1 結構模型圖(CSI)

比較LCM與CSI如圖2.5-5a，兩者容量曲線完全重合，表LCM理論驗證可行。

圖A1-2 LCM與CSI比較

再以前圖7為案例A-2.0說明，一懸臂立柱高H為3.6m，其斷面A為25x50cm，強軸慣性矩I為65104.167cm4、彈性模數E值為2.0E+5kgf/cm2，參考側力為柱頂向右集中力，柱底之PH如下表A2-1所示。分別利用本文矩形能量法(以下簡稱LCM)，以及CSI旗下之ETABS程式(以下簡稱CSI)等兩方法，求取懸臂立柱容量曲線(柱頂位移與柱底剪力)。

表A2-1 懸臂立柱之PH

1.LCM方法：

指定柱頂參考側力向右任意值為1.80ton，由彈性理論計算其彈性變位得2.150cm如式A2-1，底部彎矩為1.8x360得648ton-cm，勁度k依式A2-2得301.40ton-cm/cm，再由PH中之B點塑力推得其變位5.972cm如式A2-3。

表A2-2 EB+PH合併

因為本例為單一PH，因此表A2-2即可代表懸臂立柱容量曲線表，即圖A2-2中之綠色方形實線。

2.CSI方法：

CSI結構模型如圖A2-1，參考載重指定於頂端向右為1.80ton，同前EB與PH等基本資料輸入程式後，將PH資料指定於立柱底部。先跑彈性分析再跑側推分析，得懸臂立柱容量曲線，如圖A2-2中之紅色圓點實線。

圖A2-1 結構模型圖(CSI)

比較LCM與CSI如圖A2-2，兩者容量曲線完全重合，亦表LCM理論驗證可行。

圖A2-2 LCM與CSI比較

本文所發想的外內力平衡系統之矩形能量(Rectangular Energy)均為矩形，簡單易懂，非線性應用上只要加加減減就好，且可以正確計算外內之變位與力量等結果，並不馬虎，這也顯示其可愛之處，除本文所舉的兩簡單靜定單一塑鉸案例外，未來仍可應用於橋樑與房屋等靜不定多重塑鉸結構之材料與幾何非線性(Ref.-02)。

參考文獻

1.國家地震工程研究中心(NCREE)，「校舍結構耐震評估與補強技術手冊NCREE-09-023」，民國98年11月。

2.呂啟明，「矩形能量的可愛1.0-材料與幾何非線性之應用」，Pubu電子書城，Sep. ,2019。

3.Computer Structure Inc.，「CSI Analysis Reference Manual」，CSI，2010。

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