本報1194期,曾探討矩形能量應用於材料非線性之基本概念;另於本報1224期,舉單層門架例說明矩形能量之應用。茲,再舉雙層門架為例說明不同樓層的相互存在關係,詳圖1。

1235-3-1

圖1 雙層單跨門架

內外矩形能量說明,同1224期。若取2F柱以上為自由體(Free Body),結果得其如下式1與2,同理再取1F柱以上為自由體,亦可推得內外矩形能量平衡,得下式3與4,餘可參考Ref.-1。

1235-3-2

接下來,我們以下圖2之案例1說明,其為一樓高3米6、二樓高3米、跨度5米之對稱雙層單跨柱底鉸接之門架,其中左右柱尺寸均為25x50cm,樑尺寸為30x60cm,彈性模數E值為2.0E+5 kgf/cm2,參考樓層側力(floor force)RF與2F分別為2比1,左右兩柱之柱頂與柱底PH分別如下表1。而1F柱底因為鉸接,所以沒有彎矩PH,另外大樑假設強度很大,永遠保持彈性,所以亦沒有PH,本門架即所謂弱柱強樑者。分別利用LCM(LuChiMan綠奇門,Ref.-1)、與CSI (ETABS程式,Ref.-2)等兩方法,求取本例門架之容量曲線(RFL位移與1F基底剪力)。

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圖2 案例1之結構系統

 

表1 左右兩柱之PH

2FC1top

2FC2top

A

B

C

D

E

θ(rad)

0.000

0.000

0.015

0.025

0.075

m(t-cm)

0.00

900.00

900.00

300.00

300.00

2FC1bot

2FC2bot

A

B

C

D

E

θ(rad)

0.000

0.000

0.015

0.025

0.075

m(t-cm)

0.00

900.00

900.00

300.00

300.00

1FC1top

1FC2top

A

B

C

D

E

θ(rad)

0.000

0.000

0.018

0.027

0.081

m(t-cm)

0.00

1800.00

1800.00

600.00

600.00

 

 

1.LCM(LuChiMan綠奇門)方法

本例參考載重(reference load),由工程師自行指定RF與2F樓層側力分別為2.00與1.00ton,由彈性分析得門架側向位移與基底剪力之關係,如下表2;相關兩柱之彈性分析所得資料,如下表3。其中JBC為柱子彎矩轉自己者(Ref.-1或4),所以為1.00。

表2 彈性分析_門架EB

 Floor

F

V

ratio

Dis.

Δ

RFL

2.00

2.00

0.67

2.270

0.278

2FL

1.00

3.00

1.00

1.992

1.992

 

表3 彈性分析_兩柱EB

Element

Unit

dis/Mref

Kdis

JBC

2FC1_Top

cm

2.270

73.84  

 

2FC2_Top

kgf-cm

167.61

*1.00

2FC1_Bot

cm

2.270

58.32  

 

2FC2_Bot

kgf-cm

132.39

*1.00

1FC1_Top

cm

2.270

237.89

 

1FC2_Top

kgf-cm

540.00

*1.00

 

應用前述公式,將兩柱之轉角θ與彎矩m,轉成側向變位Δ與水平剪力v,再經彈性修正(Ref.-1),則EB+PH轉換後,如下表4,則各層柱頂與柱底之EB+PH圖形,分別如圖3、4、5中淺藍虛線。

表4 兩柱之EB+PH資料

Element

Unit

A

B

C

D

E

2FC1_Top

cm

0.000

12.189

16.689

11.563

26.563

2FC2_Top

ton

0.00

3.00

3.00

1.00

1.00

2FC1_Bot

cm

0.000

15.432

19.932

12.644

27.644

2FC2_Bot

ton

0.00

3.00

3.00

1.00

1.00

1FC1_Top

cm

0.000

7.566

14.046

12.247

31.687

1FC1_Top

ton

0.00

5.00

5.00

1.67

1.67

 

1235-3-4

圖3 2F柱頂EB+PH圖形

 

1235-3-5

圖4 2F柱底EB+PH圖形

 

1235-3-6

圖5 1F柱頂EB+PH圖形

節點強度,原則上是樑柱互制取小值者為控制,本例為弱柱強樑,所以柱之強度即代表節點者,如同上表4與上圖3至5,所示之綠色實線,故其與淺藍虛線重合。

樓層容量曲線,以屋頂變位(dis.RF)為樓層位移事件點,將所對應得到節點強度相加,2F與1F等容量曲線資料,得如下表5與6,再將各層容量均轉換到1F者,如圖6中之深藍與深綠等實線,分別表2F與1F之容量,注意其中2F轉換到1F者,需乘以樓層剪力比值1.5
(=3.0/2.0)。再以存正值者(Save Positive)相互比較,可看出1F容量值均小於2F,表示整結構由1F者控制,即降伏破壞均發生在1F柱頂,2F者均保持彈性,即圖6中深綠實線,意為最後求得本例門架之容量曲線。

表5 2F之容量曲線資料

RF

Dis-RF

0.000

12.189

15.432

16.689

16.706

19.932

19.952

26.562

27.643

2F-Sum

ΣVi=

0.00

10.74

12.00

12.00

8.00

8.00

4.00

4.00

4.00

2FC1_Top

Vi=

0.00

3.00

3.00

3.00

1.00

1.00

1.00

1.00

1.00

2FC2_Top

Vi=

0.00

3.00

3.00

3.00

1.00

1.00

1.00

1.00

1.00

2FC1_Bot

Vi=

0.00

2.37

3.00

3.00

3.00

3.00

1.00

1.00

1.00

2FC2_Bot

Vi=

0.00

2.37

3.00

3.00

3.00

3.00

1.00

1.00

1.00

 

表6 1F之容量曲線資料

2FL

Dis-RF

0.000

7.566

14.046

14.060

31.686

1F-Sum

ΣVi=

0.00

10.00

10.00

3.34

3.34

1FC1_Top

Vi=

0.00

5.00

5.00

1.67

1.67

1FC2_Top

Vi=

0.00

5.00

5.00

1.67

1.67

 

1235-3-7

圖6 各層轉換至1F(Save Positive)

2.CSI(ETABS程式)方法

CSI結構模型如圖7,參考載重於RFL、2FL,各施加2.0與1.0ton,同前EB與PH等基本資料輸入程式後,先跑彈性分析,再跑側推分析(Pushover),得門架初始降伏與最終破壞等變形,如圖8,再得門架容量曲線,如圖9中之紅色圓形實線。

1235-3-8

圖7 結構模型圖(CSI)

 

1235-3-9

圖8 初始降伏與最終破壞等變形圖(CSI)

比較LCM與CSI等容量曲線,如下圖9,兩者完全重合,再者如上圖8,說明1F柱頂先發生降伏,最後亦由1F柱頂發生破壞,2F從頭至尾均保持在線彈性,這與前述LCM方法所得結果相同,表LCM理論驗證可行。

1235-3-10

圖9 LCM與CSI比較(Not Save Positive)

再舉案例2,同案例1,僅將1F左右柱尺寸轉90度改為50x25cm,並提高1F柱頂之PH如下表7,其餘不變。同樣地,分別利用LCM與CSI等兩方法,求取本例門架之容量曲線。

表7 C1與C2等柱之1F左右柱頂PH

1FC1top

A

B

C

D

E

θ(rad)

0.000

0.000

0.018

0.027

0.081

m(t-cm)

0.00

3000.00

3600.00

1200.00

1200.00

1FC2top

A

B

C

D

E

θ(rad)

0.000

0.000

0.018

0.027

0.081

m(t-cm)

0.00

3000.00

3600.00

1200.00

1200.00

 

1.LCM(LuChiMan綠奇門)方法

同案例1方式,求得2F與1F等容量曲線,再將各層容量均轉換到1F者,如下表8與圖10中之深藍與深綠等實線,分別表2F與1F等容量,可看出2F柱頂先降伏,再來1F柱頂降伏,兩線交點(8.243cm)以後,均由2F柱頂與柱底控制,所以下表9與圖11中深綠實線,意為最後求得本例門架之容量曲線。

表8 2F與1F等容量曲線資料

RF-dis'

0.000

5.042

6.383

9.542

9.191

10.883

9.639

24.181

24.627

2F→1F

0.00

16.11

18.00

18.00

12.00

12.00

6.00

6.00

6.00

RF-dis'

0.000

5.217

12.743

11.819

31.245

       

1F→1F

0.00

16.66

20.00

6.66

6.66

       

 

1235-3-11

圖10 各層轉換至1F(Save Positive)

表9 案例2整體容量曲線資料

破壞點

原點

2F柱頂

1F柱頂

交點

2F柱頂

2F柱頂

2F柱底

2F柱底

2F柱頂

2F柱底

Dis.RF

0.000

5.042

5.217

8.243

9.542

9.191

10.883

9.639

24.181

24.627

1F→1F

0.00

16.11

16.66

18.000

18.000

12.000

12.000

6.000

6.000

6.000

 

1235-3-12

圖11 案例2整體容量曲線資料(Not Save Positive)

2.CSI(ETABS程式)方法

同案例1,先跑彈性分析再跑側推分析,得門架初始降伏與最終破壞等變形,如圖12,再得門架容量曲線,如圖13中之紅色圓形實線。

1235-3-13

圖12 初始降伏與最終破壞等變形圖(CSI)

比較LCM與CSI等容量曲線,如下圖13,兩者除衰減段外,幾乎完全重合,再如上圖12,說明2F柱頂先發生降伏、最後亦由2F柱頂與柱底發生破壞時,1F柱頂從頭至尾,均保持在降伏段未進入衰減段,這與前述LCM方法所得結果相同;而下降段不同原因,CSI卸載方式之變位,為對應求得非理論解析,且並無考慮1F與2F交點(8.243cm)後樓層互制,所以其變位接近LCM求得1F者,如圖10之綠色實線,所以LCM理論驗證可行並優於CSI。

1235-3-14

圖13 LCM與CSI比較

綜合本報1194與1124等期探討,LCM(LuChiMan綠奇門)所發想的外內力平衡系統之矩形能量(Rectangular Energy)均為矩形,簡單易懂;非線性應用上,只要加加減減就好,且可以正確解析外內之變位與力量等結果,並不馬虎(Ref.-1),且優於CSI卸載中變位僅對應無互制,再一次顯示矩形能量的可愛之處。

參考文獻

Ref.-1 呂啟明,「矩形能量的可愛1.0-材料與幾何非線性之應用」,Pubu電子書城 或 amazon(亞馬遜,amazon.com),Sep. 2019。

Ref.-2 Computer Structure
Inc.,「CSI Analysis Reference Manual」,CSI,July 2010。

Ref.-3 呂啟明,矩形能量應用於材料非線性,技師報第1194期,民國108年10月26日。

Ref.-4 呂啟明,矩形能量應用於材料非線性-以單層門架為例,技師報第1224期,民國109年5月23日。

 

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