本報1194、1224與1235期,分別介紹矩形能量基本概念與其應用,於材料非線性之單雙層門架,本文再談矩形能量於幾何非線性(Geometric Nonlinear)之應用。幾何非線性,一般區分為大應力(Large Stress)與大變位(Large Displacement)效應,大應力效應即我們常說的P-Delta效應,其主要是因在大應力作用下,由於其側向位移(lateral displacement),不管該位移很大或小,均會造成對整體結構的影響。以下就矩形能量應用於P-Delta效應,舉例分析。

以懸臂立柱如下圖1為說明,外內系統矩形能量平衡式1,成對變相如式2,柱頂受P壓力(向下),則P力因側向變位Δ所造成的彎矩如式3,再除以柱高h,得水平剪力如式4,值得注意的是,透過此轉換,將垂直壓力轉成水平剪力,此P-Delta剪力,與原內彎矩對應的剪力強度方向相反,因此力平衡式改為式5,表示剪力強度因此減少,對應的能量改為式6,表示能量容量受損。

1240-2-1

圖1 懸臂立柱

1240-2-2

以案例1之懸臂立柱說明,其結構示意如圖1,除增加因靜載活載引起之柱頂軸壓力P,為10ton(向下)外,其餘結構條件,均與本報1194期案例A2.0相同。同樣地,分別利用LCM(LuChiMan綠奇門,Ref.-1)、與CSI (ETABS程式,Ref.-2)等兩方法,求取立柱之容量曲線(柱頂位移與基底剪力)。

1.LCM(LuChiMan綠奇門)方法:

本例LCM分析方法,同本報1194期案例A2.0,僅列出各階段柱軸力如表1,其中柱軸力維持固定值,依據前述公式4,計算P-Delta反向剪力1240-2-3如表2,合併BaseV得水平剪力容量減少,如表2第4列。

表1 各階段柱軸力

Δ=

0.000

5.972

12.452

11.727

31.155

C1

-10.00

-10.00

-10.00

-10.00

-10.00

 

 

表2 懸臂立柱之容量曲線資料

2F

Δ=

0.000

5.972

12.452

11.727

31.155

1F

BaseV=

0.00

5.00

5.00

1.67

1.67

C1

VPD=

0.00

-0.17

-0.35

-0.33

-0.87

 

BaseV+V=

0.00

4.83

4.65

1.34

0.80

 

圖2中之淺綠虛線,原始僅考慮材料非線性之容量曲線(本報1194);而綠色實線,則其再考慮P-Delta效應所得者,可看出因柱頂受壓而水平剪力容量下滑減少趨勢。

1240-2-4

圖2 懸臂立柱之容量曲線圖形(LCM)

2.CSI(ETABS程式)方法:

CSI結構模型如圖3,同理將垂直力與水平力各指定為一種Case,例如SLG與SLX,如圖3為SLG-Case,SLX-Case同1194期案例A2.0。同樣地,先跑彈性分析,再依序跑SLG與SLX等兩靜力非線性側推分析,但SLX-Case須將SLG-Case設為從前次Case開始(Start
from Previous Case),意即在跑水平側力前,垂直力已經存在,SLG-Case亦需記得加入P-Delta效應。側推得門架容量曲線,如圖4中之紅色圓形實線,另外紅色圓形虛線,為原始僅考慮材料非線性之容量曲線(本報1194期)。

1240-2-5

圖3 懸臂立柱之結構模型圖(CSI)

 

1240-2-6

圖4 懸臂立柱之容量曲線圖形(CSI)

比較LCM與CSI等容量曲線如圖5,兩者完全重合,表LCM理論驗證可行。

1240-2-7

圖5 懸臂立柱之LCM與CSI比較

再舉案例2,雙層門架說明,其結構示意如圖6,除增加因靜載活載引起之各柱頂軸壓力10ton外,其餘結構條件均與本報1235期(第3篇)案例1相同,同樣地分別利用LCM與CSI等兩方法,求取本門架之容量曲線。

1240-2-8

圖6 案例2之結構系統

1.LCM(LuChiMan綠奇門)方法:

本例LCM分析方法,同本報1235期之案例1,僅列出各階段柱軸力如下表3,其中柱軸力不再維持固定值,依據公式4,計算P-Delta反向剪力1240-2-3如表4,合併原始基底剪力(Base Shear),得表4最後一列。

表3 雙層門架之各階段柱軸力

Drift-RFL

0.000

0.927

0.927

0.310

0.310

2FC1_Top

-9.25

-6.65

-6.65

-8.88

-8.88

2FC2_Top

-10.75

-13.35

-13.35

-11.12

-11.12

Drift-2FL

0.000

6.646

13.126

13.753

31.379

1FC1_Top

-20.00

-8.80

-8.80

-16.26

-16.26

1FC2_Top

-20.00

-31.20

-31.20

-23.74

-23.74

 

表4 雙層門架之容量曲線資料

RFL

Dis.RF

0.000

7.566

14.046

12.261

31.686

2FC1_Top

VPD=

0.000

-0.021

-0.021

-0.009

-0.009

2FC2_Top

VPD=

0.000

-0.041

-0.041

-0.011

-0.011

1FC1_Top

VPD=

0.000

-0.162

-0.321

-0.621

-1.417

1FC2_Top

VPD=

0.000

-0.576

-1.138

-0.907

-2.069

Base Shear

VBS=

0.00

10.00

10.00

3.34

3.34

Base Shear

VBS+VPD=

0.00

9.20

8.48

1.79

-0.17

 

圖7中之淺綠虛線為原始僅考慮材料非線性之容量曲線(本報1235期),而綠色實線則其再考慮P-Delta效應所得者,可看出因柱頂受壓而水平剪力容量下滑減少趨勢。

1240-2-9

圖7 雙層門架之容量曲線圖形(LCM)

2.CSI(ETABS程式)方法:

CSI結構模型如圖8,同前例先跑彈性分析,再依序跑SLG與SLX等兩靜力非線性側推分析,側推得門架容量曲線,如圖9中之紅色圓形實線,另外紅色圓形虛線,為原始僅考慮材料非線性之容量曲線(本報1235期)。

1240-2-10

圖8 雙層門架之結構模型圖(CSI)

 

1240-2-11

圖9 雙層門架之容量曲線圖形(CSI)

比較LCM與CSI等容量曲線如圖10,兩者完全重合,其餘元素降伏破壞發生順序,同本報1235期說明,表示LCM理論驗證可行。

1240-2-12

圖10 雙層門架之LCM與CSI比較

最後再舉案例3,說明2F先降伏破壞(同本報1235期中之案例2),僅將1F柱尺寸轉90度與加強其PH外,其餘均同前案例2與前圖6說明,再分別利用LCM與CSI等兩方法求取例門架之容量曲線。

1.LCM(LuChiMan綠奇門)方法:

本例僅列出各階段柱軸力、與P-Delta反向剪力1240-2-3,分別如表5與6,再合併原始基底剪力Base Shear(本報1235期),得表6最後一列。

表5 雙層門架之各階段柱軸力

Drift-RFL

0.000

1.530

1.583

1.709

3.008

6.575

8.267

8.331

22.873

23.319

2FC1_Top

-10.00

-6.40

-6.28

-5.98

-5.98

-7.32

-7.32

-8.66

-8.66

-8.66

2FC2_Top

-10.00

-13.60

-13.72

-14.02

-14.02

-12.68

-12.68

-11.34

-11.34

-11.34

Drift-2FL

0.000

3.514

3.634

6.523

6.523

2.618

2.618

1.309

1.309

1.309

1FC1_Top

-20.00

-1.96

-1.34

0.16

0.16

-6.56

-6.56

-13.28

-13.28

-13.28

1FC2_Top

-20.00

-38.04

-38.66

-40.16

-40.16

-33.44

-33.44

-26.72

-26.72

-26.72

 

表6 雙層門架之容量曲線資料

RFL

Dis.RF

0.000

5.042

5.217

8.243

9.542

9.191

10.883

9.639

24.181

24.627

2FC1_Top

VPD=

0.000

-0.033

-0.033

-0.034

-0.060

-0.160

-0.202

-0.240

-0.660

-0.673

2FC2_Top

VPD=

0.000

-0.069

-0.072

-0.080

-0.141

-0.278

-0.349

-0.315

-0.865

-0.881

1FC1_Top

VPD=

0.000

-0.019

-0.014

0.003

0.003

-0.048

-0.048

-0.048

-0.048

-0.048

1FC2_Top

VPD=

0.000

-0.371

-0.390

-0.728

-0.728

-0.243

-0.243

-0.097

-0.097

-0.097

BaseShear

VBS=

0.00

16.11

16.66

18.00

18.00

12.00

12.00

6.00

6.00

6.00

BaseShear

VBS+PD=

0.00

15.62

16.15

17.16

17.07

11.27

11.16

5.30

4.33

4.30

 

圖11中之淺綠虛線,為原始僅考慮材料非線性之容量曲線(本報1235期),而綠色實線,則其再考慮P-Del效應所得者,可看出因柱頂受壓而水平剪力容量下滑減少趨勢。

1240-2-13

圖11 雙層門架之容量曲線圖形(LCM)

2.CSI(ETABS程式)方法:

CSI結構模型同前例圖8,側推得門架容量曲線如圖12中之紅色圓形實線,另外紅色圓形虛線,為原始僅考慮材料非線性之容量曲線(本報1235期)。

1240-2-14

圖12 雙層門架之容量曲線圖形(CSI)

比較LCM與CSI等容量曲線如圖13,可看出兩者因柱頂受壓而水平剪力容量下滑減少趨勢完全相同,至於衰減段部分與元素降伏破壞發生順序,同本報1235說明,表示LCM理論驗證可行。

1240-2-15

圖13 雙層門架之LCM與CSI比較

P-Delta,為軸力乘以側向位移,不是矩形能量,透過矩形能量的轉換,將垂直壓力轉成水平剪力。而在軸力為壓力下,才會減損整體矩形能量,反之拉力則增加。這與人生哲學很像,壓力就像小人,因為小人才會給我們壓力,減損我們的信心能量;拉力像貴人,貴人才會拉我們一把,增加我們正向能量。LCM(LuChiMan綠奇門),所發想的外內力平衡系統之矩形能量(Rectangular Energy)均為矩形,簡單易懂,非線性應用上只要加加減減就好,且可以正確解析外內之變位與力量等結果,並不馬虎(Ref.-1),再一次顯示,矩形能量的可愛之處。

參考文獻

Ref.-1 呂啟明,「矩形能量的可愛1.0-材料與幾何非線性之應用」,Pubu電子書城 或 amazon(亞馬遜,amazon.com),Sep. 2019。

Ref.-2 Computer Structure Inc.,「CSI Analysis Reference Manual」,CSI,July 2010。

Ref.-3 呂啟明,矩形能量應用於材料非線性,技師報第1194期,民國108年10月26日。

Ref.-4 呂啟明,矩形能量應用於材料非線性-以單層門架為例,技師報第1224期,民國109年5月23日。

Ref.-5 呂啟明,矩形能量應用於材料非線性-以雙層門架為例,技師報第1235期,民國109年8月8日。

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