茵積式水池結構設計之研討

茵積式水池

一般圓形蓄水池均採用鋼製或鋼筋混凝土造,若其頂部及底部均採用拋物線形之拱體,則稱之為茵積(Intze)式水池,如圖1所示。

應力分析之原則

依「Reinforced Concrete Struectures」【1】 (以下簡稱書1) 所述,茵積式水池各構件之應力分析,應分為兩階段:1.視所有構件均各自獨立,然後依薄殼分析法(Membrane Analysis)求各構件所發生之應力。2.依整體效應(Effect of Continuity)之觀念,亦即在每節點(Joint)之構件其水平變形(Deformation)與角度之變位(Displacement)應相等之原則下,再求其所發生之應力,兩階段所求得之應力和即為其最終應力。

材料應力

一、混凝土

用於水工結構之混凝土,其抗壓強度fc'至少為245kgf/cm2。在此強度下,其最外受壓層之容許抗壓應力fc'=245*0.45=110kgf/ cm2;全面受荷重時之容許抗壓應力fc'=245*0.25=61kgf/ cm2 ,容許抗張應力fc'=245*0.1=24.5kgf/ cm2,有腰筋時容許抗剪應力τvc=22.5kgf/ cm2;無腰筋時τvc'=4.9 kgf/ cm2。

二、鋼筋

採用SD28鋼筋,其fs'(fy)=2,800kgf/ cm2;容許抗張應力fs及容許抗剪應力fst=1,400kgf/ cm2;容許抗環張應力ft =1,000kgf/ cm2。

三、鋼筋混凝土應力係數

當fc'=245kgf/cm2時,Es=2.1*106kgf/cm2; Ec=15,000*902-2-1=234,877kgf/cm2;n= 2.1*106/234,877=8.94;k=1/[(1+1,400/ (8.94*110)]=0.413;j=1-0.413/3=0.862;K=110/2* 0.413*0.862=19.58;a=1,400*10-5*0.862=0.01207。

茵積式水池設計範例

一、水池之基本資料

茲設計一座茵積式水池(RC造),其水池之直(內)徑=16 m,頂拱拱高=2m,池高=5m(含其下部之椎形拱),有效水深為4.7 m,底拱之直(內)徑=12m,頂拱拱高=1.8m,如圖1所示。

二、水池相關尺寸

1.拱之曲率半徑r2=(2R-ha)*ha---------------(1)

頂拱:82=(2R1-2)*2,R=17.0m;底拱:62= (2R2-1.8)*1.8,R2=10.9 m。

2.水池有效(滿池)容量V=π*[(D2-D02)/4*[(h-h0/2)+(D02/4*h-h22/3*(3*R2-h2)]-------(2)

V=3.14*[(162-122)/4*(4.7-2/2)+122*4.7/4-1.92/3*(3*10.9-1.9)]≒740m3。

3.頂拱之f1=sin-1(8/17)=28.07˚,cos28.07˚=0.88。頂拱之f0=sin-1(0.5/17)=1.685˚,cos1.685˚= 0.999。

4.若頂拱版中心無開孔,f0=0,cosf0=1,其表面積A=2πR2*(1-cosf1)------------------(3)

5.頂拱版中心開孔(1.0m∮),其表面積為A,則A=2πR2*(cosf0-cosf1)-------------------(4)

=2*3.14*172*(cos1.68˚-cos28.07˚)≒216cm2。

6.設頂拱之厚度t=12cm。頂拱自重=0.12*2,400 =288kg/cm2。頂拱靜載重=0.288*216=62.21T。其頂部之活荷重以150kg/cm2計,頂拱總活載重=0.150*216=32.4T。頂拱單位靜及活載重w=288+150=423kgc/m2。

三、水池之重量

1.水池靜荷重:頂拱62.21+上環梁9.1(25cm*30cm)+池牆82.66(25cm*2.7m)+中環梁9.18(25cm* 30cm)+椎形牆74.59(25cm*2*m)+下弧形環梁17.09(30cm*60cm)+底拱59.14(厚20cm),合計315.31T。

2.水池靜重及活荷重=315.31+32.4≒347.71T。水池靜荷重+滿水重=315.31+1*740≒1,055.31T。水池靜重+滿水重及活荷重=1,055.31+32.4=1,087.71T。

各構件之設計

本範例係參照書1所述之設計方法與步驟,及「薄殼應力分析學」【2】所列之公式逐步設計如下。

一、頂拱之設計

1.拱底經向推力(向下)T1=w*R1/(1+cosθ)------------------(5)

當θ=f1=28.07˚,T1max=0.423*17/(1+0.88)=2.96 T/m,其壓應力=2.96/12/100*1000=2.47kgf/cm2 (非常小)<110kgf/cm2,O K。

2.但拱體經向及環向仍須配置0.3%之溫度鋼筋,As=0.3%*100*12/2 =1.8 cm2,上下兩層各採用10mm∮@15cm,實際之As= 3.92cm2/m。

3.另因頂部球心環向之寬度=0,故其鋼筋量可由底部向上逐漸減少,直至環向寬度小於15cm之處時,經向及環向鋼筋均改為10mm∮@12.5cm十字交叉之鋼筋網。

4.最大環向壓應力T1=w*R1/2t1---------------------------(6)

T1=0.423*17/(2*0.12)=3.10T/m2(非常小)<110kgf/cm2,OK(註:1.0T/m2=0.1kgf/cm2)。

二、上環梁(B1)之設計

1.上環梁承受最大環向力H1=T1*cos28.07˚=3.10*0.88=2.73T。

2.上環梁之張力=H1*D/2=2.73*16/2=21.84T。其所需之環向鋼筋量=21.84/1=21.84cm2,採用6支22mm∮,實際之Ash=23.22cm2,另採用10mm∮之鋼箍@20cm。

3.其相當之合成斷面積=A+(n-1)*Ash---------------------(7)

其容許抗張應力=24.5kgf/cm2=21.84*1,000/[(A+(8.94-1)*23.22)],A=706.7cm2。採用25cm*30cm =750cm2>706.7cm2,OK。

4.頂拱應力分析示意圖詳如圖2【2】。

三、圓筒式池牆之設計

1.依薄殼分析法,首先假設池牆頂部及底部均為自由端。其最大環向應力發生在其底部。最高水位距牆底H'=4.7m,環向應力P=1*4.7*16/2=37.6T/m2,其所需之鋼筋量=37.6/1=37.6cm2/m,採用22mm∮兩排@ 20cm。實際之Ash=3.871*100/20*2=38.71cm2/m。

2.設牆厚度為t0,其相當之合成斷面積24.5=37.28*1,000/[(100*t0+(8.94-1)*3.871],t0=14.95 cm。但池牆最小厚度t=3H+5=3*5+5=20cm,故採用漸變斷面:底部30cm;頂部20cm。

3.池牆垂直方向所需配置之鋼筋量As=0.3-(t0-10)/(45-10)*0.1%-----------------(8)

=0.3-(25-10)/(45-10)*0.1%=0.257%。

4.As=0.257%*25*100=6.425cm2,內外側各需6.425/2=3.22cm2,採用10 mm∮,其間距=100* 0.7133/3.22=22.15,採用22cm。外側垂直鋼筋須伸入頂拱以防止頂拱與池牆之間,因整體效應而產生之變形與變位。

5.由於池牆所受之水壓與其水深成正比,水位越淺其水壓也越小,因此上述經向鋼筋量可依水深減少之比率而減少。

四、中環梁(B2)之設計

1.中環梁上部單位長度之載重=頂拱重+上環梁+池牆重+中環梁自重(0.3m*0.6m),W=62.21/(3.14 *16)+2.4*(0.25*0.3+0.25*3+0.3*0.6)*1=3.65T/m。

2.中環梁及椎形拱之尺寸與其受力情形詳如 圖3所示。

3.中環梁連接池牆與椎形拱,故其上部之荷重會經由椎形拱之經向推力傳至中環梁(B2)。其水平分力=3.65*tan45˚=3.65T/m。

4.中環梁所受之水壓=1*(4.7-2-0.15)*0.3=0.765T/m。其總張力=3.65+0.765=4.42T/m;環張力= 4.42*16/2=35.36T。所需鋼筋量As=35.36/1=35.36cm2,採用9支22mm∮,實際As=34.84cm2。

5.混凝土承受之張應力sct=35.36*1000 /[(30*60+(8.94-1)*34.84)]=17.03kg/cm2 <24.5 kg/cm2,OK。

五、椎形拱之設計

1.椎形拱上部之水重W=1*3.14/4*[(162-122)*(2.7+2/2)]=325.3T。

2.設椎形拱體之厚度t2=30cm,則其自重Ws=2.4*π*(D+D0)/2*ℓ*t2-----------------(9)

Ws=2.4*3.14*(16+12)/2*2.83*0.3=89.51T。

3.椎形拱池牆所承受之垂直壓力W2=(3.65*3.14*16+89.51+325.3)/(3.14*12)=16.74T/m。

4.椎形拱所承受之經向推力T0=W2/cosf0=16.74/0.707=23.68T/m。經向壓應力=23.68/(0.3*1.0)= 7.89kgf/cm2 (非常小)<110kgf/cm2,OK。

5.設自椎形拱底起任何一點之高度為h',其直徑D'=12+(16-12)/2*h'=12+2h',該點之水壓p=

(4.7-h')*1=(4.7-h') T/m2。椎形拱體之自重q=2.4*0.3=0.72T/m2。

h'點之環向張力P0'=(p/cosf0 +qtanf0)*D'/2-----------------(10)

P0'=(4.7-h')*+0.72*1)*(6+h')。即P0'=44.2- 1.12h'-1.414h'2。當h'=0,P0'=44.2;h'=1,P0'=41.66T。dP0'/dh'=0時,P0'為最大,即-1.12-2*1.414h' =0,求得h'=-0.4m,不合理,因此採用h=0,P0'max= 44.2T。

6.椎形拱所需之環向鋼筋量As=44.2/1.0= 44.2cm2。內外兩側採用22mm∮@17 cm。其上部可比照池牆之方式,將鋼筋量減為1/2,但上下兩端須分別伸入上下梁,以防止各節點因整體效應而發生變形或移位。

7.椎形拱體實際As=3.871*100/17*2=45.54cm2。混凝土所承受之張應力=44.2*1000/[(30*100)+ (8.94-1)*45.54)]=13.15kg/cm2<24.5kg/cm2,OK。

8.椎形拱環向須配置鋼筋As=0.3-(40-10)/(45-10)*0.1%≒0.3%。As=0.3%*40*100=12cm2。採用13mm∮@10cm。

六、底拱之設計

1.底拱之f2=sin-1(6/10.9)=33.4˚,cos33.4˚= 0.835,sin33.4˚=0.55。

2.設拱厚=20cm,則其自重=gc*2π*R2*h2*t2= 2.4*2*3.14*10.9*1.8*0.2=59.14T。

3.底拱上部水重W0=π*[D02/4*h-h22/3*(3* D0-h2)]*1------ (11)

=3.14*[122/4*4.7-1.92/3*(3*12-1.9)]*1=414.9T。底拱上部之總重WT=59.14+414.9=474.04T。

4.經向推力T2=474.04/(3.14*12*cos33.4˚)=15.07T。經向壓應力=15.07/(0.2*1)=7.54kgf/cm2 (非常小) <110kgf/cm2,OK。

5.單位面積之荷重P2=474.04/(2*3.14*10.9*1.9)=3.64T/m2。

底拱中心之最大環壓力S2=P2*R2/2 t2 -------------------------------(12)

S2=3.64*10.9/(2*0.3)=6.61 kgf/cm2 (非常小) <110kgf/cm2,OK。

6.底拱經向及環向仍須配置鋼筋

As=0.3-(30 -10)/(45-10)*0.1%≒0.3%。As=0.3%*20*100=6cm2。採用10 mm∮上下兩排@20cm。頂部球心附近比照頂拱排筋方式,經向及環向鋼筋均改為10mm∮@15cm十字交叉之鋼筋網。

七、拱底梁(B3)之設計

1.由椎形拱經向推力T0=24.31T/m;另由底拱經向推力T2'=15.07*cos33.4˚=12.58T/m。

2.拱底梁承受之淨推力=24.31-12.58=11.73T/m。環向壓力=11.73*12/2=70.4T。

3.設拱底梁為0.6m*1.0m,其環向壓應力=70.4 /(0.6*1.0)=11.73kgf/cm2(仍不大)<110kgf/cm2,OK。

結論與建議

一、拱底之應力

1.拱所受之經向及環向推力與其曲率半徑及上部荷重有關,曲率半徑越大其底部兩端之夾角(2f1)越小,經向推力T1也越小;但環向推力(H1)則越大。至於其大小須按公式T1=w*R1/(1+cosθ)計算,不可由拱之總重量直接乘上cos(90-f1)或sin(90-f1)求其垂直或水平分力。

2.拱所受之經向及環向壓應力均約在混凝土最外受壓層容許抗壓應力110kgf/cm2之內,拱底梁之環向壓應力也只有110 kgf/cm2之10%左右,因此頂拱、椎形拱或底拱以及拱底梁之厚度均可酌予減小,但須注意不得造成拱底梁之環張應力超出其容許範圍外。

二、拱之夾角

由書2所列半球形拱之環向應力公式sh=1/(1+cosf1)-cosf1=0--(13)

當f1=0時,則cos2f1-cosf1 -1=0。解得cosf1= 0.618,f1 =51˚49¢47"≒52˚,圖2中之虛線為應力中立線,f1大於52˚以上時,角度較大之部分(中立線以下)拱體會承受環向張力;小於52˚則拱體只承受環向壓力。亦即在均佈荷重下半球狀拱頂經緯線之受力均為壓力,且經線頂部較為穩定;但底部較易挫曲,此乃拱頂受力之特性。由圖2可知cosf1=(R-h1)/R,亦即0.618=1-h1/R,因此建議設計時h1/R之比值不要大於0.382 R,俾使拱面承受之應力全為壓應力(可節省鋼筋之使用量)。至於底拱之f2在經濟觀點上,宜設在50°至55°之間。

三、椎形拱之環張力

由上述公式(10)可知:椎形拱環張力之大小與拱體厚度及水池有效水深(h)成正比。其發生最大環張力之處(h'點)一般都在其底端之附近。本文所舉之範例,若有效水深h大於5.5 m,h'點才會大於0。雖然越上端其所需之鋼筋越少,但無論h'點發生在何處,因為椎體之長度不大(只約2m左右),故其鋼筋原則上不予減少,且其上下兩端均須伸入上下環梁,以免上下節點產生變形或變移位。

參考文獻

1. ASHOK K. JAIN & ARUN K. JAIN(2003年8月).REINFORCED CONCRETE STRUCTURES:B.C. PUNMIA, LAXMI.

2. Wilhelm Flügge (1973年3月)。薄殼應力分析學(宏耀棠譯)。復漢出版社出版。

902-2-2

圖1茵積式水池結構示意圖

902-2-3

圖2頂拱應力分析示意圖

902-2-4

圖3 椎形拱之尺寸及應力示意圖

 

 

 

【本文稿經由台灣省土木技師公會技師報同意轉載;未經允許請勿任意轉載】


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