本報1194、1224與1235期,分別介紹矩形能量基本概念與其應用,於材料非線性之單雙層門架,本文再談矩形能量於幾何非線性(Geometric Nonlinear)之應用。幾何非線性,一般區分為大應力(Large Stress)與大變位(Large Displacement)效應,大應力效應即我們常說的P-Delta效應,其主要是因在大應力作用下,由於其側向位移(lateral displacement),不管該位移很大或小,均會造成對整體結構的影響。以下就矩形能量應用於P-Delta效應,舉例分析。
以懸臂立柱如下圖1為說明,外內系統矩形能量平衡式1,成對變相如式2,柱頂受P壓力(向下),則P力因側向變位Δ所造成的彎矩如式3,再除以柱高h,得水平剪力如式4,值得注意的是,透過此轉換,將垂直壓力轉成水平剪力,此P-Delta剪力,與原內彎矩對應的剪力強度方向相反,因此力平衡式改為式5,表示剪力強度因此減少,對應的能量改為式6,表示能量容量受損。
圖1 懸臂立柱
以案例1之懸臂立柱說明,其結構示意如圖1,除增加因靜載活載引起之柱頂軸壓力P,為10ton(向下)外,其餘結構條件,均與本報1194期案例A2.0相同。同樣地,分別利用LCM(LuChiMan綠奇門,Ref.-1)、與CSI (ETABS程式,Ref.-2)等兩方法,求取立柱之容量曲線(柱頂位移與基底剪力)。
1.LCM(LuChiMan綠奇門)方法:
本例LCM分析方法,同本報1194期案例A2.0,僅列出各階段柱軸力如表1,其中柱軸力維持固定值,依據前述公式4,計算P-Delta反向剪力如表2,合併BaseV得水平剪力容量減少,如表2第4列。
表1 各階段柱軸力
Δ= |
0.000 |
5.972 |
12.452 |
11.727 |
31.155 |
C1 |
-10.00 |
-10.00 |
-10.00 |
-10.00 |
-10.00 |
表2 懸臂立柱之容量曲線資料
2F |
Δ= |
0.000 |
5.972 |
12.452 |
11.727 |
31.155 |
1F |
BaseV= |
0.00 |
5.00 |
5.00 |
1.67 |
1.67 |
C1 |
VPD= |
0.00 |
-0.17 |
-0.35 |
-0.33 |
-0.87 |
BaseV+VPΔ= |
0.00 |
4.83 |
4.65 |
1.34 |
0.80 |
圖2中之淺綠虛線,原始僅考慮材料非線性之容量曲線(本報1194);而綠色實線,則其再考慮P-Delta效應所得者,可看出因柱頂受壓而水平剪力容量下滑減少趨勢。
圖2 懸臂立柱之容量曲線圖形(LCM)
2.CSI(ETABS程式)方法:
CSI結構模型如圖3,同理將垂直力與水平力各指定為一種Case,例如SLG與SLX,如圖3為SLG-Case,SLX-Case同1194期案例A2.0。同樣地,先跑彈性分析,再依序跑SLG與SLX等兩靜力非線性側推分析,但SLX-Case須將SLG-Case設為從前次Case開始(Start
from Previous Case),意即在跑水平側力前,垂直力已經存在,SLG-Case亦需記得加入P-Delta效應。側推得門架容量曲線,如圖4中之紅色圓形實線,另外紅色圓形虛線,為原始僅考慮材料非線性之容量曲線(本報1194期)。
圖3 懸臂立柱之結構模型圖(CSI)
圖4 懸臂立柱之容量曲線圖形(CSI)
比較LCM與CSI等容量曲線如圖5,兩者完全重合,表LCM理論驗證可行。
圖5 懸臂立柱之LCM與CSI比較
再舉案例2,雙層門架說明,其結構示意如圖6,除增加因靜載活載引起之各柱頂軸壓力10ton外,其餘結構條件均與本報1235期(第3篇)案例1相同,同樣地分別利用LCM與CSI等兩方法,求取本門架之容量曲線。
圖6 案例2之結構系統
1.LCM(LuChiMan綠奇門)方法:
本例LCM分析方法,同本報1235期之案例1,僅列出各階段柱軸力如下表3,其中柱軸力不再維持固定值,依據公式4,計算P-Delta反向剪力如表4,合併原始基底剪力(Base Shear),得表4最後一列。
表3 雙層門架之各階段柱軸力
Drift-RFL |
0.000 |
0.927 |
0.927 |
0.310 |
0.310 |
2FC1_Top |
-9.25 |
-6.65 |
-6.65 |
-8.88 |
-8.88 |
2FC2_Top |
-10.75 |
-13.35 |
-13.35 |
-11.12 |
-11.12 |
Drift-2FL |
0.000 |
6.646 |
13.126 |
13.753 |
31.379 |
1FC1_Top |
-20.00 |
-8.80 |
-8.80 |
-16.26 |
-16.26 |
1FC2_Top |
-20.00 |
-31.20 |
-31.20 |
-23.74 |
-23.74 |
表4 雙層門架之容量曲線資料
RFL |
Dis.RF |
0.000 |
7.566 |
14.046 |
12.261 |
31.686 |
2FC1_Top |
VPD= |
0.000 |
-0.021 |
-0.021 |
-0.009 |
-0.009 |
2FC2_Top |
VPD= |
0.000 |
-0.041 |
-0.041 |
-0.011 |
-0.011 |
1FC1_Top |
VPD= |
0.000 |
-0.162 |
-0.321 |
-0.621 |
-1.417 |
1FC2_Top |
VPD= |
0.000 |
-0.576 |
-1.138 |
-0.907 |
-2.069 |
Base Shear |
VBS= |
0.00 |
10.00 |
10.00 |
3.34 |
3.34 |
Base Shear |
VBS+VPD= |
0.00 |
9.20 |
8.48 |
1.79 |
-0.17 |
圖7中之淺綠虛線為原始僅考慮材料非線性之容量曲線(本報1235期),而綠色實線則其再考慮P-Delta效應所得者,可看出因柱頂受壓而水平剪力容量下滑減少趨勢。
圖7 雙層門架之容量曲線圖形(LCM)
2.CSI(ETABS程式)方法:
CSI結構模型如圖8,同前例先跑彈性分析,再依序跑SLG與SLX等兩靜力非線性側推分析,側推得門架容量曲線,如圖9中之紅色圓形實線,另外紅色圓形虛線,為原始僅考慮材料非線性之容量曲線(本報1235期)。
圖8 雙層門架之結構模型圖(CSI)
圖9 雙層門架之容量曲線圖形(CSI)
比較LCM與CSI等容量曲線如圖10,兩者完全重合,其餘元素降伏破壞發生順序,同本報1235期說明,表示LCM理論驗證可行。
圖10 雙層門架之LCM與CSI比較
最後再舉案例3,說明2F先降伏破壞(同本報1235期中之案例2),僅將1F柱尺寸轉90度與加強其PH外,其餘均同前案例2與前圖6說明,再分別利用LCM與CSI等兩方法求取例門架之容量曲線。
1.LCM(LuChiMan綠奇門)方法:
本例僅列出各階段柱軸力、與P-Delta反向剪力,分別如表5與6,再合併原始基底剪力Base Shear(本報1235期),得表6最後一列。
表5 雙層門架之各階段柱軸力
Drift-RFL |
0.000 |
1.530 |
1.583 |
1.709 |
3.008 |
6.575 |
8.267 |
8.331 |
22.873 |
23.319 |
2FC1_Top |
-10.00 |
-6.40 |
-6.28 |
-5.98 |
-5.98 |
-7.32 |
-7.32 |
-8.66 |
-8.66 |
-8.66 |
2FC2_Top |
-10.00 |
-13.60 |
-13.72 |
-14.02 |
-14.02 |
-12.68 |
-12.68 |
-11.34 |
-11.34 |
-11.34 |
Drift-2FL |
0.000 |
3.514 |
3.634 |
6.523 |
6.523 |
2.618 |
2.618 |
1.309 |
1.309 |
1.309 |
1FC1_Top |
-20.00 |
-1.96 |
-1.34 |
0.16 |
0.16 |
-6.56 |
-6.56 |
-13.28 |
-13.28 |
-13.28 |
1FC2_Top |
-20.00 |
-38.04 |
-38.66 |
-40.16 |
-40.16 |
-33.44 |
-33.44 |
-26.72 |
-26.72 |
-26.72 |
表6 雙層門架之容量曲線資料
RFL |
Dis.RF |
0.000 |
5.042 |
5.217 |
8.243 |
9.542 |
9.191 |
10.883 |
9.639 |
24.181 |
24.627 |
2FC1_Top |
VPD= |
0.000 |
-0.033 |
-0.033 |
-0.034 |
-0.060 |
-0.160 |
-0.202 |
-0.240 |
-0.660 |
-0.673 |
2FC2_Top |
VPD= |
0.000 |
-0.069 |
-0.072 |
-0.080 |
-0.141 |
-0.278 |
-0.349 |
-0.315 |
-0.865 |
-0.881 |
1FC1_Top |
VPD= |
0.000 |
-0.019 |
-0.014 |
0.003 |
0.003 |
-0.048 |
-0.048 |
-0.048 |
-0.048 |
-0.048 |
1FC2_Top |
VPD= |
0.000 |
-0.371 |
-0.390 |
-0.728 |
-0.728 |
-0.243 |
-0.243 |
-0.097 |
-0.097 |
-0.097 |
BaseShear |
VBS= |
0.00 |
16.11 |
16.66 |
18.00 |
18.00 |
12.00 |
12.00 |
6.00 |
6.00 |
6.00 |
BaseShear |
VBS+PD= |
0.00 |
15.62 |
16.15 |
17.16 |
17.07 |
11.27 |
11.16 |
5.30 |
4.33 |
4.30 |
圖11中之淺綠虛線,為原始僅考慮材料非線性之容量曲線(本報1235期),而綠色實線,則其再考慮P-Del效應所得者,可看出因柱頂受壓而水平剪力容量下滑減少趨勢。
圖11 雙層門架之容量曲線圖形(LCM)
2.CSI(ETABS程式)方法:
CSI結構模型同前例圖8,側推得門架容量曲線如圖12中之紅色圓形實線,另外紅色圓形虛線,為原始僅考慮材料非線性之容量曲線(本報1235期)。
圖12 雙層門架之容量曲線圖形(CSI)
比較LCM與CSI等容量曲線如圖13,可看出兩者因柱頂受壓而水平剪力容量下滑減少趨勢完全相同,至於衰減段部分與元素降伏破壞發生順序,同本報1235說明,表示LCM理論驗證可行。
圖13 雙層門架之LCM與CSI比較
P-Delta,為軸力乘以側向位移,不是矩形能量,透過矩形能量的轉換,將垂直壓力轉成水平剪力。而在軸力為壓力下,才會減損整體矩形能量,反之拉力則增加。這與人生哲學很像,壓力就像小人,因為小人才會給我們壓力,減損我們的信心能量;拉力像貴人,貴人才會拉我們一把,增加我們正向能量。LCM(LuChiMan綠奇門),所發想的外內力平衡系統之矩形能量(Rectangular Energy)均為矩形,簡單易懂,非線性應用上只要加加減減就好,且可以正確解析外內之變位與力量等結果,並不馬虎(Ref.-1),再一次顯示,矩形能量的可愛之處。
參考文獻
Ref.-1 呂啟明,「矩形能量的可愛1.0-材料與幾何非線性之應用」,Pubu電子書城 或 amazon(亞馬遜,amazon.com),Sep. 2019。
Ref.-2 Computer Structure Inc.,「CSI Analysis Reference Manual」,CSI,July 2010。
Ref.-3 呂啟明,矩形能量應用於材料非線性,技師報第1194期,民國108年10月26日。
Ref.-4 呂啟明,矩形能量應用於材料非線性-以單層門架為例,技師報第1224期,民國109年5月23日。
Ref.-5 呂啟明,矩形能量應用於材料非線性-以雙層門架為例,技師報第1235期,民國109年8月8日。
【本文稿經由台灣省土木技師公會技師報同意轉載;未經允許請勿任意轉載】
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